Matte 1 - Geometri
Vinklar
Olika sorters vinklar
Man mäter vinklar och vridningar i grader, och det hela bygger på att en vridning ett helt varav är 360 grader, 360°. Genom att utgå ifrån detta så kan vi konstatera att ett halvt varv är 180° och ett kvarts varv 90°. Den vinkel som är 90° kallas för en rät vinkel. Denna vinkel markeras med en hake enligt figuren till höger.
Där ser vi även att de vinklar som är mindre än 90° kallas för spetsiga vinklar, och de som är större än 90° kallas för trubbiga vinklar.
I figuren längst ner är de båda linjerna L1 och L2 parallella. Detta gör så att vinklarna a1, a2 och c1 är lika stora. Man säger att vinklarna a2 och c1 är alternatvinklar, medan vinklarna a1 och a2 kallas för likbelägna vinklar.
Summan av vinklar i månghörningar
Då man lägger ihop alla vinklar i en triangel blir summan alltid 180°.
Summan av vinklarna i en triangel är 180°.
Regeln ovan är ganska enkel att konstatera om vi tittar på bilden här nedan:
Kika på det övre hörnet med den röda cirkeln. Den röda cirkeln visar att en cirkel är 360°. Om vi drar en linje genom hörnet där den röda cirkeln är så ser vi att utrymmet ovanför blir en halvcirkel. Halvcirklar är detsamma som 180° (360°/2). Det innebär att vi har 180° kvar nedanför linjen för att det totalt sett ska bli 360°.
Det är vinkeln c som, tillsammans med a och b, utgör de resterande 180°. a och b uppe i det övre hörnet är lika stora som a respektive b i triangeln, alltså är summan av vinklarna i en triangel ALLTID 180°.
Nästa regel är:
Yttervinkeln är summan av de två motstående inre vinklarna.
Denna är också enkel att bevisa. Tänk er en likadan röd ring som i det övre hörnet, fast placera den i det nedre högra hörnet istället. Utrymmet under linjen vid hörnet b blir 180°, och därmed vet vi att vinklarna b och d tillsammans är 180°. Vi vet också sedan innan att vinklarna b, c och a tillsammans är 180°. Då kan vi säga att vinklarna c och a tillsammans utgör summan på vinkeln d.
Bestäm vinkeln u.
Enligt regeln ovan så vet vi nu att summan av de tre vinklarna i en triangel är 180°.
Svar: Vinkeln u=50°.
Bestäm vinkeln u.
Denna uppgift kan vi lösa på två sätt.
Det allra enklaste är att nyttja formeln a+c=d vilket ger:
Men det går också att räkna ut genom att man först bestämmer vinkeln på det tredje hörnet, vi kallar det för x, genom:
Summan av de tre vinklarna ska ju bli 180°.
Vi vet också att summan av u och x ska bli 180°. Vi får då fram u genom att dra bort vinkeln x från 180°.
Svar: Vinkeln u=153°.
Av dessa två lösningar rekommenderar jag den första lösningen eftersom den är smidigare och innehåller färre uträkningar vilket minskar risken för fel 
Men det är absolut inte fel att räkna som det andra sättet, det viktigaste är att man hittar det sätt som passar en bäst!
Bisektris och normal
Bisektris till en vinkel kallas den linje som delar en vinkel i två lika stora delar. Man kan rita ut den med hjälp av en gradskiva då man mäter vinkeln och markerar för halva. Har man en 180 graders vinkel, delar den på mitten så får man två 90 graders vinklar. Denna linje kallas för normal till den ursprungliga linjen. Normalens fotpunkt är den punkt där normalen skär den givna linjen. Här i figuren ser vi att L1 och L2 är normaler till varandra och P är fotpunkten.
Likbenta trianglar
Då en triangel har två lika långa sidor säger man att den är likbent. Detta innebär att den tredje sidan kallas för triangelns bas och dess vinklar kallas för basvinklar. Basvinklarna i sådana här trianglar har den finurliga egenskapen att de är lika stora, vilket ofta underlättar räkningen med vinklar.
En likbent triangel har lika stora basvinklar
eller
En triangel med lika stora basvinklar är likbent.
Nedan syns en likbent triangel, bestäm vinkeln u.
Uppgiften säger att triangeln är likbent vilket innebär att de båda basvinklarna är lika stora. Det gör alltså inget att vi bara har fått reda på en vinkel, då den okända vinkeln utan bokstavsbeteckning är lika stor som den angivna. De båda basvinklarna är alltså 73° vardera.
Liksom innan så vet vi att summan av de tre vinklarna ska bli 180°, alltså:
Svar: Vinkeln u är 34°.
Liksidiga trianglar
Liksidiga trianglar är ännu lättare att handskas med; där är alla sidor lika långa och därmed är alla vinklar lika stora.
Strecken genom vinklarna är bara ett sätt att märka upp de vinklar som är lika stora.
Sidorna i en liksidig triangel är lika långa och därmed är även alla vinklar lika stora.
Hur många grader har varje hörn i en liksidig triangel?
Då de tre vinklarna i en liksidig triangel är lika stora och vinkelsumman i en triangel alltid är 180° så behöver vi bara dela 180 med 3 för att få svaret:
Svar: Varje hörn har en vinkel på 60 °.