Matte 1 - Grunder
Tal i decimalform
Olika talgrupper/talmängder
Något man kanske aldrig har tänkt på innan är att man delar in alla tal i olika grupper baserat på deras egenskaper. Nedan nämner vi dessa olika grupper lite ytligt för att sedan under kursernas gång ta upp dem lite noggrannare.
De reella talen
De reella talen innefattar alla tal, alltså den vardagliga benämningen på alla siffror oavsett om de är 1, , eller 0,4444…osv. De betecknas med bokstaven
I ingår alltså , och .
De naturliga talen
De naturliga talen betecknas med bokstaven och innefattar de positiva heltalen, alltså inga negativa tal och de har inte heller några decimaler.
Heltalen
betecknar mängden av alla heltal. Heltalen är de tal utan decimaler och de kan vara både negativa och positiva t.ex.
De rationella talen
betecknar alla rationella tal, alltså alla bråktal t.ex.
De komplexa talen
betecknar alla komplexa tal. Ett komplext tal är där a och b är reella tal och i är den imaginära enheten.
Positiva tal
Varje siffra i ett tal har ett platsvärde. Med hjälp av platsvärdet vet man hur ett tal är uppbyggt och hur det utläses. Ta till exempel 678, alla vet vi ju hur man utläser detta tal ? sexhundrasjuttioåtta. Skulle man skriva det i en utvecklad form skull det se ut så här:
678 = 6 * 100 + 7 * 10 + 8 * 1
Här visar man att sexan har platsvärdet 100, sjuan platsvärdet 10 och åttan platsvärdet 1. Tar man ett tal i decimalform blir resultat så här:
2,14 = 2 * 1 + 1 * 0,1 + 4 * 0,01
Negativa tal
Dessa används i många olika sammanhang, t.ex. temperaturen kan vara -6°C. Man säger att talen 2 och -2 är motsatta tal, precis som 3 och -3 eller 12 och -12 är motsatta tal. Med hjälp av detta kan man förklara begreppet subtraktion genom att man adderar med det motsatta talet.
Här nedan adderar vi -2 respektive -8 till 7 respektive 6.
Det finns vissa regler som gäller för negativa tal. Reglerna är nödvändiga för att man ska kunna räkna med dem.
Enligt reglerna ovan så blir två stycken minus plus istället:
Udda och jämna tal
Alla heltal är antingen jämna eller udda. De jämna definieras som de tal som är jämnt delbara med två, annars är de udda. Exempel på jämna tal är …-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8… Notera att även noll är ett jämnt tal då 2*0 = 0. Exempel på udda tal är …-7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7…
Gällande siffror/Värdesiffror
Gällande siffror/värdesiffror har en betydelse när man ska skilja på exakta tal och approximerade (avrundade tal). Om vi t.ex. ska ange vikten på en bokhylla så kan vi säga att den väger 9 kg om vi avrundar till närmsta heltal. För att ange vikten mer exakt så behöver vi använda oss av fler värdesiffror t.ex. bokhyllan väger egentligen 8,7 kg.
Ju fler värdesiffror desto noggrannare mätning har gjorts.
Siffrorna 1-9 är alltid värdesiffror t.ex. vikten 8,755 kg har 4 värdesiffror.
Siffran 0 räknas ibland som en värdesiffra, ibland inte:
- Nollor inuti ett tal räknas som gällande siffror.
- Nollor i början av ett tal är inte gällande siffror.
- Nollor i slutet av ett tal med decimaler räknas som gällande siffror.
- Nollor i slutet av ett heltal kan vara gällande, det varierar från fall till fall (se exempel).
Bestäm antalet gällande siffror/värdesiffror i talet
a) 204
b) 8,040
c) 54 790
d) 0,034
a) Då vi vet att nollor inuti ett tal är gällande så har talet 204 tre gällande siffror.
b) Eftersom nollor i slutet av ett decimaltal räknas som gällande så har talet 8,040 fyra gällande siffror.
c) Talet 54790 kan ha fyra eller fem gällande siffror eftersom nollor i slutet av ett heltal kan vara gällande. Det får man avgöra från fall till fall.
Anledningen till att det skiljer sig mellan olika fall är att det angivna talet kan vara ett avrundat tal. Rör det sig om priset på en vara så är talet exakt och har därmed 5 värdesiffror. Om det däremot är en uppskattning på hur många som besökte en vårdcentral förra året så kan man inte räkna nollan som en värdesiffra eftersom den egentligen inte är riktigt sann.
d) Eftersom nollor i början av ett tal inte är gällande har talet 0,034 endast två gällande siffror
Överslagsräkning
Överslagsräkning handlar egentligen bara om att göra det lätt för sig t.ex. då man använder huvudräkning och man ska räkna med tal där man måste hålla reda på decimaler och liknande. Som exempel kan man ta då man är och handlar.
Ola går till Konsum för att handla lite frukt. På handelslistan har han skrivit 2 bananer, 5 äpplen, 3 apelsiner och 4 päron. När han väger frukterna får han följande prisuppgifter:
2 bananer 4,40 kr
5 äpplen 11,65 kr
3 apelsiner 7,50 kr
4 päron 9,30 kr.
Räcker de 40 kr Ola har tagit med sig?
För att snabbt och enkelt räkna ut detta så kan Ola använda sig av överslagsräkning, vilket helt enkelt innebär att han avrundar decimaltalen till närmaste heltal.
4,40 –> 4 kr
11,65 –> 12 kr
7,50 –> 8 kr
9,30 –> 9 kr
Summan enligt överslagsräkningen blir:
Summan enligt de exakta priserna blir:
Som ni ser så räcker Olas pengar och det gick att räkna ut på ett ganska så simpelt sätt.
Avrunda rätt
Det finns vissa regler som säger om man ska avrunda ett tal uppåt eller nedåt.
Beroende på vilket platsvärde du ska avrunda till så tittar du på siffran närmast till höger om den platsen. Ska du t.ex. avrunda till närmaste tiotal så tittar du på entalssiffran för att avgöra om du ska runda uppåt eller neråt. Ska du avrunda till närmaste tiondel så tittar du på hundradels-siffran för att avgöra om det blir uppåt eller neråt.
Är siffran du tittar på 1-4 så avrundas talet neråt.
Är siffran du tittar på 5-9 så avrundas talet uppåt.
a) Avrunda 1,5 till heltal
b) Avrunda 24 till tiotal
c) Avrunda 2,8743 till 2 decimaler
d) Avrunda 7990 till hundratal
a) När vi ska avrunda ett tal till heltal så innebär det att talet inte ska ha några decimaler längre. Vi kikar alltså på det tal som har platsvärdet “tiondel”. Talet är en femma, alltså ska vi runda uppåt. Ettan på entalsplatsen blir alltså en tvåa.
b) Vid avrundning till tiotal så ska vi avgöra vad det är för en siffra som ska stå på tiotalsplatsen, tal med mindre platsvärde blir till nollor. För att avgöra detta tittar vi alltså på vad det står för siffra på entalsplatsen. I 24 är det en fyra som är entalet. Det innebär att vi avrundar neråt och tvåan får stå kvar som tiotal.
c) Här ska vi avrunda talet så att det enbart har två decimaler kvar. Vi ska behålla tiondelen och hundradelen. Tusendelen är den som står direkt till höger om hundradelen så det blir siffran med det platsvärdet som avgör hur vi ska avrunda. Tusendelssiffran är i detta fall fyra, alltså avrundar vi nedåt och behåller sjuan på hundradelsplatsen.
d) Här ska vi avrunda till hundratal. Vi tittar på platsen för tiotal och ser att det är en nia vilket innebär att vi ska runda hundratalssiffran uppåt. Men hundratalssiffran är också en nia, och när den rundas upp till tio blir den en nolla samtidigt som vi ökar på med 1 på tusentalssiffran. Således blir