Matte 3 - Trigonometri i trianglar
Areasatsen och cosinussatsen
Areasatsen
Låt oss säga att vi har en triangel med två kända sidor och en mellanliggande vinkel och vi vill nu beräkna arean av denna triangel. Med hjälp av areasatsen är detta möjligt.
Arean för en triangel är ju lika med
För att kunna räkna ut arean behöver vi först veta höjden på triangeln. Vi ritar ut höjden h mot basen CA. På så vis har vi skapat oss en rätvinklig triangel där vi vet att hypotenusans längd är 7 cm, motstående katetens längd är h cm och vinkeln är 52°. Dessa 3 komponenter ingår i formeln som illustrerar sambandet mellan sinus för vinkeln v och voten mellan motstående katet och hypotenusan.
Genom att sätta in de värden vi vet så får vi en ekvation där vi kan lösa ut h och därmed få svaret på triangelns höjd.
Vi väljer att inte beräkna vidare vad h blir då det blir en fasligt massa decimaler. Snyggare blir det att istället bara sätta in uttrycket för höjden i formeln för triangelarean:
Tack vare att vi utnyttjade en av de speciella definitionerna för rätvinkliga trianglar så kunde vi beräkna höjden och därmed arean på en triangel där ingen höjd var angiven från början och där det inte heller fanns möjlighet att direkt utnyttja Pythagoras sats för att få fram höjden (vi visste ju inte basen på den rätvinkliga triangeln som skapades i o m att vi ritade ut höjden).
Om vi skulle försöka oss på att hitta en generell utformning för beräkning i just sådana här situationer. Vi jämför triangeln ovan med denna triangel här, dvs CBA.
För att beräkna höjden h så använder vi uttrycket:
som i denna situation får detta utseende:
Eftersom det är höjden h som är intressant för areaberäkningen så löser vi ut h:
Formeln för höjden på triangeln ska sedan ersätta höjden i triangelareaformeln.
Areasatsen kan alltså ses som en kombination av formeln för en triangels area och formeln för kvoten mellan hypotenusan och motstående katet i förhållande till sinus för vinkeln v. Därför kan den användas i alla fall där man vet två sidor med en mellanliggande vinkel
Areasatsen:
Cosinussatsen
Om vi nu istället skulle hamna i en sådan situation där triangelns alla sidor är kända men ingen vinkel, så skulle det dock ställa till lite problem. Den enkla lösningen på det hela är cosinussatsen.
Cosinussatsen går även att använda då vi vet två sidor och den mellanliggande vinkeln.
Cosinussatsen:
eller
eller
Man kan använda sig av cosinussatsen då följande situationer råder:
- Då man känner till två sidor och en vinkel
- Då man känner till alla tre sidorna
Bestäm
a) triangelns vinklar med en decimal
b) triangelns area
a) Vi börjar med att beräkna vinkel C. Detta är den största vinkeln i triangeln. Den motstående sidan till den största vinkeln är alltid den längsta sidan. Vi jämför triangeln i exemplet med triangeln i regelrutan och ersätter tecknen i uttrycket med de siffror vi har:
Vi har nu skapat en ekvation där vi kan beräkna vinkeln C:
(0,083 är avrundat, A:et inom parentes betyder att vi sparat det icke avrundade talet i grafräknarens minne)
Vinkel C visade sig vara en trubbig vinkel. I och med att en triangel enbart kan ha en trubbig vinkel så vet vi att de två resterande vinklarna är spetsiga och kan beräknas antingen m h a cosinussatsen eller sinusatsen nu när vi har en vinkel att utgå ifrån.
Vi fortsätter med cosinussatsen:
Nu när vi vet både vinkel C och B så kan vi enkelt beräkna vinkel A genom vinkelsumman för trianglar:
Vinkel A = 180° – 85,2° – 28,8° = 66°
b) För att kunna beräkna arean behöver vi veta höjden på triangeln. Vi bestämmer att sidan AB är basen och drar då en linje som är vinkelrät dvs 90° mot denna.
Nu har vi skapat två rätvinkliga trianglar inuti triangeln. Vi väljer att använda den till höger för att beräkna arean. Om vi jämför vår rätvinkliga triangel med formlerna regelrutan för areasatsen så ser vi att vi ska använda formeln där vinkeln och hypotenusan ingår:
Svar: a) Vinklarna i triangeln är 85,2°, 28,8° och 66° b) Arean på triangeln är 31,8 dm2.