Matte B - Funktioner
Proportionalitet mot x2 och √x
Proportionalitet mot x2
där k är proportionalitetskonstanten.
Det regeln här ovan säger är att y är proportionell mot x2. Vi kan alltså beräkna proportionalitetskonstanten k genom att dela y med x2. I funktioner med det utseende som hos regeln råder det proportionalitet. I en funktion som har har utseendet y=4x2+3 så råder det inte proportionalitet då den har en konstant utöver kx2.
Proportionaliteten kan bevisas på två sätt:
- Algebraiskt, dvs man beräknar kvoten mellan x och y på några punkter. Får de samma kvot så råder det proportionalitet.
- Grafiskt, man ritar upp ett diagram och prickar in värdena för alla y och deras respektive x-värde (x2-värde). Kan man dra en rak linje genom dessa och att linjen går genom origo så råder det proportionalitet mellan y och x.
En liten vagn accelereras på en luftkuddebana av en kraft som får verka under en viss sträcka. Vagnen startar utan begynnelsefart och man bestämmer den slutfart x m/s som vagnen får då den rört sig den givna sträckan. Den energi y joule (J) som vagnen tillförts beräknas för olika stora krafter. I tabellen redovisas resultatet av en försöksserie.
| y | 0,25 | 0,50 | 0,75 | 1,00 | 1,25 |
| x | 0,87 | 1,22 | 1,50 | 1,72 | 1,94 |
Visa algebraiskt att energin är proportionell mot kvadraten på farten och skriv upp sambandet mellan y och x.
Uppgiften ber oss bevisa att energin (y) är proportionell mot kvadraten på farten (x), alltså att y är proportionell mot x2. För att bevisa om det råder proportionalitet mellan dessa så beräknar vi k enligt regeln ovan som säger att .
Alltså är .
Som vi ser så få vi näst intill lika stor kvot på alla divisionerna vilket bevisar att y är proportionellt mot x2.
Medelvärdet på k blir:
Då vi vet k kan vi skriva upp sambandet
Svar: Ja, y är proportionellt mot x2 och .
Proportionalitet mot √x
där k är proportionalitetskonstanten.
Precis som i Proportionalitet mot x2 så kan proportionaliteten påvisas både algebraiskt och grafiskt.
- Algebraiskt, dvs man beräknar kvoten mellan x och y på några punkter. Får de samma kvot så råder det proportionalitet.
- Grafiskt, man ritar upp ett diagram och prickar in värdena för alla y och deras respektive x-värde (√x-värde). Kan man dra en rak linje genom dessa och att linjen går genom origo så råder det proportionalitet mellan y och x.
Man låter en liten blykula falla fritt en sträcka som är x meter. Med elektronisk hjälp lyckas man bestämma kulans slutfart y m/s. Mätvärdena presenteras i tabellen:
| x | 0,20 | 0,40 | 0,60 | 0,80 | 1,00 | 1,20 |
| y | 2,0 | 2,8 | 3,4 | 3,9 | 4,4 | 4,8 |
a) Visa algebraiskt att slutfarten är proportionell mot kvadratroten ur sträckan och bestäm ett värde på proportionalitetskonstanten.
b) Bestäm sambandet mellan y och x.
a) Här ska vi alltså bevisa att y (slutfarten) är proportionellt mot √x (kvadratroten ur sträckan). Precis som i exemplet med x2 så beräknar vi kvoten mellan y och √x.
alltså:
Vi ser att det råder liknande kvoter vilket innebär att y är proportionell mot √x. Medelvärdet på k är:
b) Vi sätter in värdet på k i formeln y=kx2: