Matte C - Polynomfunktioner
Andra typer av ekvationer
Intro
Som vi ser så är det ganska lätt att lösa en andragradsekvation när det ena ledet är en produkt av förstagradspolynom och det andra 0. Jag kan glädja er med att detta fungerar även för ekvationer med högre grad.
Lös ekvationen:
Den här ekvationen består av tre faktorer: x, (x+4) och (x+3) och är då en tredjegradare, vilket innebär att den har tre lösningar. Eftersom produkten är noll innebär det att någon utav dessa tre faktorer är lika med noll. Då sätter vi helt enkelt varje faktor lika med noll, vilket ger oss lösningarna:
Svar:
Lös ekvationen:
Här samlar vi först alla x på ena sidan och bryter sedan ut x-termen, alltså gör vi en faktoruppdelning (se faktoruppdelning i Matte B).
Även här så måste någon av faktorerna vara lika med noll då produkten är noll.
Svar:
Rotekvationer
Rotekvationer kallas sådana ekvationer som har det obekanta talet under rottecknet. Då man löser rotekvationer måste man kvadrera, vilket bidrar till att den nybildade ekvationen inte är lika med den förra ekvationen. Detta medför, då ekvationen är löst, att man har en falsk rot. Den falska roten upptäcks genom prövning, man testar om svaret är rätt genom att sätta in det i den ursprungliga ekvationen.
Lös ekvationen:
Börja med en förenkling:
Låt rottecknet stå själv på ena sidan och kvadrera sedan talen på båda sidorna. x-1 fås av att ‘roten ur’ är samma sak som ‘upphöjt i 0,5′ och när vi sedan kvadrerar så blir det en multiplikation av potenserna 0,5*2 = 1, alltså Notera också att vi använder pilenvid kvadreringen. Den betyder “medför att”.
Nu gör vi om ekvationen så vi kan lösa den med pq-formeln:
Nu ska vi avslöja den falska roten genom att testa de båda svaren i den ursprungliga ekvationen
Prövning ger:
HL = 5, VL = HL.
HL = 2, VL HL
(VL = Vänster led, HL = Höger led)
Svar:
Lösa rotekvationer med substitution
Substitution betyder i detta fall ”ersätta”, vilket är det perfekta ordet för det vi just nu ska göra. För att förklara denna metod behövs ett exempel.
Vi ska lösa ekvationen:
Om vi istället säger att där (vi ersätter ‘roten ur x’ med ‘u’) så får vi automatiskt att
Ursprungsekvationen ser då ut så här istället:
Om vi sedan flyttar över sexan till andra sidan av likhetstecknet så har vi hux flux en andragradsekvation som vi lätt kan lösa mha PQ-formlen! 
ger oss eftersom
duger inte eftersom vi ställde villkoret att u skulle vara större än noll i början.
Svar:
Obs! Mycket viktigt att komma ihåg att svara med x och inte u, vilket många tenderar att glömma!
8 januari 2011 @ 14:26
Villkoret “u >_ 0″ är onödigt. Det är x som ej förmår vara negativt så länge vi håller oss inom det reella talplanet, inte u.
Roten “u = -2″ ger att u^2 – u = (-2)^2 – (-2) = 4 + 2 = 6 (vilket stämmer med den substituerade ursprungsekvationen)
Roten “u = -2″ ger även att x = u^2 => x = (-2)^2 = 4, vilket i sin tur genom x – sqrt(x) = 6 ger att 4 – sqrt(4) = 2 =/= 6 (vilket inte stämmer med den icke-substituerade urprungsekvationen)
Rätta mig om jag har fel, men detta berodde inte på att u inte kunde vara negativt (u = -3 hade t.ex fungerat utmärkt), utan enbart på att värdet i sig var fel. Det enda riktiga villkoret jag på rak arm kan härleda ur ursprungsekvationen är att x > 6, då x <_ 6 uppenbarligen inte fungerar.
24 november 2011 @ 0:44
Heejsan! Behöver verkligen någons hjälp med att lösa dessa uppgifter:
a) 2x(x + 4)(6 3x) = 0
b) (x + 3)2 = -4x
c) 1/x-2 – 2/x+1 = 3/x-2 ( / = delat )
7 januari 2012 @ 1:05
Awesomeness. Tack för hjälpen. Vår lärare är en ex mentalpatient.