Matte D - Integraler

Beräkna arean av det markerade område där kurvan som begränsar området uppåt har ekvationen

Jaha, kurvan är ju angiven så det vi behöver för att kunna beräkna arean är ju intervallet. I den vänstra bilden, som tillhör a-uppgiften, så ser vi ganska tydligt att den markerade arean börjar vid y-axeln, alltså där x=0. Den slutar sedan då x=3

Vi sätter alltså upp vår integral på följande vis:

Vi har skrivit att integralen ska beräknas i intervallet från 0 till 3, och funktionen som är angiven är den som det gäller. Så nu är det bara att beräkna integralen. Det första steget blir att omvandla vår funktion till en primitiv funktion:

Sådärja, då är det bara att börja räkna. Vi skriver ut vår primitiva funktion och ersätter x:en med den övre gränsen i intervallet, alltså trean. Därefter så skriver vi minus och sedan skriver vi ut den primitiva funktionen och ersätter denna gång x:en med den undre gränsen, alltså nollan. Vi får inte heller glömma att sätta dit parentesen runt den funktionen som vi subtraherar med!

Sedan är det bara att fortsätta räkna:

Arean för det markerade området är alltså 12 areaenheter, förkortat a.e.

Beräkna arean av det området som begränsas av kurvorna y=x² och y = 1/x, x-axeln och linjen x=3.

Området som vi ska beräkna arean av ser du här ovanför, det blåmarkerade området. Som du ser så sträcker sig området från x=0 till x=3. MEN, det finns två problem; det första är att kurvan 1/x inte har något värde för x=0. Det andra problemet är att kurvan x² bara har areaområdet från x=0 till x=1.

För att kunna beräkna arean på detta område så måste vi dela upp den i förslagsvis två delar. Då man gör detta utgår man ifrån den punkt där kurvorna skär varandra. I detta tal är det relativt enkelt att konstatera att skärningspunkten är där x=1:

Hade man däremot inte kunnat lösa ut skärningspunkten grafiskt så går det även att räkna ut den hel enkelt genom att sätta de båda kurvorna lika med varandra:

Iaf, vår första areabit, nr 1, får följande uttryck:

Detta eftersom det är just x²-kurvan som området följer i intervallet 0 till 1. Vi beräknar alltså arean på det område under kurvan i intervallet 0 till 1.

Från punkten där x=1 och framåt till x=3 så är det kurvan 1/x som följs och därför får vi följande uttryck för dess area:

För att få fram den totala arean behöver vi alltså bara lägga ihop de båda uttrycken:

Vi skriver ut de båda primitiva funktionerna separat:

Sen är det bara att börja räkna:

Svar: Arean av området är 1.432 a.e. stort.

Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna
och

Innan vi ställer upp integralen, som hjälper oss att räkna ut arean av området, så måste vi ta reda på i vilket intervall det gäller. Det gör vi genom att beräkna x då y=1 alltså där kurvorna skär varandra.

För att lösa ut x så byter vi först ut tecknen så att x² blir positivt, det underlättar då vi räknar. Sedan bryter vi ut x genom faktorisering och där kan vi då se att x antingen är 0 eller 2.
Tittar vi på grafen så ser det ju ut att stämma med skärningspunkterna.

Nu kan vi alltså sätta upp vårt uttryck för area genom att ta integralen av den övre funktionen minus integralen av den undre funktionen:

Svaret blev till slut 4/3 a.e. Då man tar en integral minus en annan och det gäller samma intervall så kan man slå ihop uttrycken precis som vi gjorde här ovan. Som ni ser så tar ju +1 och -1 ut varandra och kvar blir –x² och +2x som vi gör om till en primitiv funktion och sedan sätter in integrationsgränserna och räknar fram till 4/3 a.e.