Matte D - Trigonometriska funktioner

Rita kurvan och ange dess period. Notera! Den sista uppgiften är den viktigaste!
a) b) c)

Lösning till a)
Vi börjar som vanligt med att rita upp en värdetabell

Längst till vänster skriver vi in vad sinus får för värde då 4x är lika med 0°, 90°, 180°, 270° och 360°. x:et räknar vi ut genom att helt enkelt dela de olika gradantalen med 4. 4x=90° –> x=90°/4 =22,5°.
Rita sedan upp kurvan.

Notera att jag har prickat det intervall vi ritar upp från värdetabellen. Därefter har jag valt att visa ett större intervall för att ni ska få en lite bättre uppfattning om hur kurvan ser ut. Om ni vill så kan ni ju rita ut er kurva i ett större intervall genom att fortsätta skriva 4x=390° osv.

Perioden kan i vissa fall räknas ut genom att bara titta på en kurva. Som jag sa tidigare så kollar man då avståndet från den ena toppen/dalen till nästa topp/dal. I detta fall är det lite svårare att se, men som tur var så har vi ju formeln vi nyss tittade på.
Svar
Vi får fram perioden genom att dela 360° med värdet på k. Värdet på k är i detta fall 4 vilket ger oss perioden

Lösning till b)
Som i föregående uppgift ritar vi upp en värdetabell

X-värden får vi fram genom att multiplicera varje gradantal med 2.
(x/2=90° –>x=90°*2=180°)
Svar
Rita upp kurvan och perioden räknar vi ut med den tidigare nämnda formeln och vi får perioden

Lösning till c)
Här kommer det viktigaste exemplet, så var uppmärksam på lösningsmetoden. Jag kallar det viktigt för att här blandar vi in alla de moment vi hittills har lärt oss. Med detta exempel vill jag även visa hur man lätt kan bli lurad av att man har k multiplicerat med x.

Nedan har jag gjort upp 2 olika värdetabeller för att vara lite extra tydlig. Den nedre tabellen gör så att man lättare ser att man har gjort rätt:

Som ni ser i kurvan här ovan så har jag även ritat in kurvan y=cos2x för att vi lättare ska se förskjutningen i sidled. Nu när vi tittar på kurvan så kanske vissa undrar varför den bara är förskjuten 15 grader åt vänster istället för 30 grader. Det beror på att x:et är multiplicerat med k som i detta fall är lika med 2. När vi ska räkna ut vad x är så måste vi ju bl a dela med två och därmed delas även +30° med 2 vilket ger 15°. Detta syns tydligare i värdetabell nr 2. Då har vi rett ut även denna typ av kurvor.

Rita kurvan och bestäm dess period samt största och minsta värde.

Lösning
Lika tjatig som jag var med enhetscirkeln är jag med värdetabellen för att, som med enhetscirkeln, påpeka dess betydelse.

När vi sedan ritar upp kurvan använder vi värdena från den fetmarkerade funktionen eftersom den innehåller alla de siffror som påverkar y-värdet. Vi räknar som vanligt ut cos0°, multiplicerar med 0,5 (A, amplituden) och sedan adderar vi det med 2 eftersom det är värdet på B.
x räknar vi ut genom att dela alla gradtalen med 3.

Vi ser i kurvan, men också i ekvationen att största och minsta värde är 2,5 respektive 1,5. Perioden får vi då vi delar 360° med k som i detta fall är lika med 3.
Svar
Perioden är
Då man, i detta fall, tydligt ser att första toppen är på 0° och nästa vid 120° så kan vi även beräkna perioden grafiskt genom att avläsa ur grafen att 120°-0°=120°

Bestäm ekvationen för kruvan på formen

Lösning

Vi börjar med att bestämma amplituden A som vi kan avläsa från grafen ovan. Vi ser att det största värdet är 2 och det minsta är -1. Detta ger oss att

Sedan kan vi räkna ut k:et genom att kolla perioden för kurvan. Vi ser att avståndet från en topp till nästa är 180°, därmed är k =2 enligt

Vi väntar med att bestämma v eftersom det underlättar att först bestämma var mittlinjen är, alltså värdet på B. Går man 3 steg uppifrån in mot mitten och tre steg nerifrån in mot mitten möts man vid punkten 0,5 på y-axeln. Värdet på B är alltså 0,5.

Hade vår kurva inte varit förflyttad i sidled (grön kurva) så hade den skurit y-axeln där y=0,5, men kollar vi i punkten där y=0,5 ser vi att den istället 30° till vänster om y-axeln. Nu får vi inte glömma bort att värdet på k var 2 och då måste vi multiplicera 30° med 2. Värdet på v blir således +60°.
Svar