Matte Diskret - Satslogik och algoritmer

P: Peter är hungrig    R: Nästa vecka skiner solen
Q: Peter vill ha fisk    S: Nästa vecka blir det inga moln
Skriv, med hjälp av rätt operatörer, följande sammansatta påståenden
a) Peter är hungrig och vill ha fisk    b) Om solen skiner nästa vecka så blir det inga moln
c) Peter är hungrig, men vill inte ha någon fisk    

a)
“Peter är hungrig”, detta står påstående P för. “Han vill ha fisk”, det står påstående Q för. Ett “och” binder samman de båda påståendena.

b)
Vi kombinerar påstående R och påstående S som påstår “solen skiner nästa vecka” respektive “nästa vecka blir det inga moln”, de sammanfogas mha operatorn om…så.

c)
I detta sammansatta påstående ingår P och Q, men Q
Svar: a)    b)    c)

Skriv följande konjuktioner med de givna påståendena samt skapa en sanningstabell för varje
P: Anna springer fort
Q: Anna springer bra
R: Idag blir det soligt
S: Idag blir det blåsigt

a) Anna springer fort och bra    b) Idag blir det soligt och blåsigt   c) Idag blir det soligt och Anna springer bra

a) Här ska påstående P och Q kombineras med operatorn “och”:

Gör en kolumn för vardera påstående som är med i det sammansatta påståendet. Sista kolumnen utformas för det sammansatta påståendet. Eftersom det är operatorn och som sammanbinder dem så är enbart sant om både P och Q är sant.

b) Samma metod som i a-uppgiften:

c) Samma metod som i a- och b-uppgiften:

Tolka nedanstående påståenden:
P: Målningen är röd
Q: Målningen har svarta prickar
R: Målningen är grå
S: Målningen har vita prickar

a)   b)   c)

a) Här har påstående P och Q kombinerats med operatorn “eller”. Vi börjar med “målningen ä röd” lägger till ordet eller och sedan skriver vi ut påstående Q. Alltså:
“Målningen är röd eller har svarta prickar”

b) Se a-uppgiften. “Målningen är grå eller röd”

c) Se a-och b-uppgiften. “Målningen har svarta eller vita prickar”

Svar: a) “Målningen är röd eller har svarta prickar”   b) “Målningen är grå eller röd”   c) “Målningen har svarta eller vita prickar”

Skapa en sanningstabell för följande påståenden
a)   b)
c)

a) Här delar vi först upp varje enskilt påstående för sig, sedan bildar vi en kolumn för det sammansatta påståendet inom parentesen och till sist en kolumn för det hela sammansatta påståendet med alla tre satserna.

b) Här gör vi precis som i a-uppgiften, men lägger också till en kolumn för påståendet . Det är lätt att fylla i S och F i denna kolumn då påståendet är motsatsen till Q, alltså är Q sant så är falskt, och tvärtom.
Återigen så är det ett “eller” som sammanfogar och så därför är sant i de fall då åtminstone en utav satserna sanna, annars är det falskt.

c) Vi upprepar metoden från a- och b-uppgiften, men var dock uppmärksamma på att innehåller ett “eller” och detta sammansatta påstående sammanfogas med R med konjuktionen “och”.
är sant så länge antingen P, Q eller båda är sanna.
å andra sidan är enbart sann om både och R är sanna.

Tolka nedanstående påståenden:
P: Mats ger Stina ett halsband i present
Q: Mats ger Stina ett armband i present
R: Mats ger Stina en bok i present

a)    b)    c)    d)

a) “Mats ger Stina ett halsband och en bok i present”
b) “Mats ger Stina ett halsband och ett armband i present”
c) “Mats ger inte Stina ett halsband och ett armband i present”
d) “Mats ger inte Stina ett halsband och inte ett armband i present”

Skapa en sanningstabell för följande påståenden
a)    b)    c)

a) Börja med att göra en kolumn för respektive påstående. Därefter ser vi att det sammansatta påståendet innehåller en negation, nämligen och även denna får en egen kolumn. Slutligen gör vi en kolumn för hela det sammansatta påståendet.
Sedan är det bara att fylla i de olika möjligheterna, börja med P och Q; en kombination är “P är sant och Q är sant”, en annan är “P är sant och Q är falskt” osv. Då de är klara fortsätter vi med vars värden fås genom att titta på Q-kolumnen. är ju motsatsen till Q så är Q sant är falskt och tvärtom.
Slutligen tittar vi på det sammansatta påståendet som är sammankopplat med ett “och” och är därmed bara är sant då både P och är sanna.

b) Upprepa metoden i a-uppgiften. Påståendet inuti parentesen får en egen kolumn för att vi ska kunna bedöma dess värde innan negationen sätts till. För att avgöra huruvida är sant eller falskt så tittar vi på värdena för då antar motsatta värden.

c) Upprepa samma metod som i a- och b-uppgiften. Det sammansatta påståendet i denna uppgift innehåller två negationer och som också får varsin kolumn och deras värden är de mosatta till värdena för P respektive Q i tabellen.
slutligen ser vi att det sammansatta påståendet endast är sant om båda negationerna är sanna eftersom de binds samman med ett “och”.

Formulera påståendena P och Q så de kan uttryckas med implikationen .
a) Om det inte är mulet så äter Tobias glass
b) Om inte Fredrik är pigg så blir han lätt arg
c) Om Sofia inte gör läxan i tid så blir hon stressad

a) Denna mening består av två satser, nämligen “det är inte mulet” och “Tobias äter glass”. Påståendena kan då formuleras som P: Det är mulet, S: Tobias äter glass. Påstående P fås genom att det sammansatta påståendet även innehåller en negation. Hade vi sagt att P: Det är inte mulet, så hade negationstecknet gjort att meningen blivit “Det är mulet” eftersom vi nekar att “det är inte mulet”.

b) Även här har vi två satser, P: Fredrik är pigg, S: Fredrik blir lätt arg. Precis som ovan måste vi ta hänsyn till negationen och alltså formulera påstående P som motsatsen till vad som står i det sammansatta påståendet.

c) Samma tankegång som i a- och b-uppgiften. P: Sofia gör läxan i tid, S: Sofia blir stressad

Svar: a) P: Det är mulet, S: Tobias äter glass   b) P: Fredrik är pigg, S: Fredrik blir lätt arg   c) P: Sofia gör läxan i tid, S: Sofia blir stressad

Skriv följande implikationer med de givna påståendena.
P: Lina springer
Q: Lina blir andfådd
R: Lina är otränad
S: Lina vilar

a) Om Lina springer så blir hon andfådd     b) Om Lina blir andfådd så är hon otränad
c) Om Lina inte springer så vilar hon

a) Här ser vi att implikationen består av satsen P och satsen Q. Vi skriver först satsen P “Lina springer” och sedan satsen Q “Lina blir andfådd”. Pilen mellan P och Q Lägger till “om” innan P-satsen och “så” innan Q-satsen.
b) Här tänker vi likadant som i a-uppgiften, men använder påstående Q och R istället.
c) Även här ska “pilen” användas mellan de båda påståendena, men notera att första satsen “Lina springer” innehåller ordet “inte”, en negation. Negation skrevs ut som och denna sätts in framför P så vi får “Lina springer inte”. Därefter skriver vi ut P, pilen och sedan Q.

Svar: a)     b)     c)