- Statistik och sannolikhetslära
Slumpförsök och relativ frekvens
Slumpmässiga försök
Om vi singlar slant och låter enkronan falla mot golvet så kommer den antingen landa med klave eller krona uppåt. Vi kan aldrig veta vilket sätt den kommer att landa på eftersom det är så oerhört mycket som spelar in; hur du kastar upp myntet, hur mycket snurr du får på det osv.
Vi säger att hur myntet landar (resultatet) beror på slumpen och slumpförsöket är då vi kastar upp myntet. Myntet landar så att den visar antingen krona eller klave och dessa två resultat kallas för försökets utfall.
Andra exempel på slumpförsök och deras utfall kan vara:
- Kasta en tärning och se vad den visar. Utfallen är etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa.
- Välj en hund och bestäm dess kön. Utfallen är hona, hane.
Ett slumpförsök är ett försök där man inte säkert kan förutsäga dess utfall oavsett hur många gånger man gjort försöket tidigare.
Ett slumpförsök gick ut på att man kastade två tärningar en gång och räknade sedan hur många prickar man fick sammanlagt.
Räkna upp utfallen och ange därefter hur många de är.
Vi kan direkt utesluta utfallet att summan skulle bli 1 eftersom 1 är det minsta talet på vardera tärning och summan av dem kan därför bli minst 2.
Likaså är det högsta talet på båda tärningarna 6 vilket innebär att den högsta summan av dem kan bli 12.
Däremellan finns en rad olika kombinationer från olika tal, men vi kan snabbt konstatera att det finns minst en kombination vars summa motsvarar något av talen mellan 2 och 12. Alltså är de olika utfallen följande:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Och de är 11 till antalet.
Relativ frekvens
Den relativa frekvensen är antalet utfall dividerat med antalet försök. Ju fler försök som görs desto mer kommer den relativa frekvensen att stabilisera sig kring ett visst tal för ett utfall. Detta tal kallas sannolikheten för utfallet.
Som ett exempel på de relativa frekvensernas stabilitet kan vi ta befolkningsstatistiken med antalet pojkfödslar. Statistiken visar att kvoten (=den relativa frekvensen) mellan antalet födda pojkar och antalet födda barn varierar mycket lite mellan varje år. Då det är en så pass liten skillnad så kan man tolka denna kvot som ett närmevärde för sannolikheten för pojkfödsel.
Genom att upprepa slumpförsök kan man bara få ett närmevärde till sannolikheten för ett utfall, men det värdet blir bättre och bättre ju fler upprepningar man gör.
Sannolikheten betecknas ofta med P som står för probability, vilket betyder just sannolikhet. Om man vill skriva sannolikheten för att man ska få krona vid en slantsingling skrivs då:
P(krona)
Har man fler alternativ t.ex. sannolikheten för att en match slutar oavgjort eller med bortaseger blir:
P(x eller 2)
P(krona) och P(x eller 2) är båda olika sannolikheter för varsin händelse. En händelse består alltså av ett eller flera utfall.
Sannolikheten för en händelse är summan av sannolikheterna för de olika utfallen i händelsen.Summan av sannolikheterna för de olika utfallen i ett försök är alltid 1.
Då man ska beräkna sannolikheten för en händelse med 2 eller fler utfall så adderar man de olika sannolikheterna för respektive utfall med varandra. Ta t.ex. P(x eller 2) här ovan. Om sannolikheten för x var 0,3 och sannolikheten för 2 var 0,5 så skulle de tillsammans ge sannolikheten 0,8. I och med att vi vet det kan vi även beräkna sannolikheten för P(1). Det är nämligen så att summan av sannolikheterna för de olika utfallen vid ett försök är 1. alltså vet vi att P(1)=1-0,8=0,2.
Man kan jämföra detta lite med procent där olika andelar tillsammans blir 100%.
Ett prov som består av fyra frågor har använts vid flera tillfällen. Tabellen visar de relativa frekvenserna för antalet rätt.
Vad är sannolikheten att en person som deltar i detta prov har
a) 1 rätt b) högst 1 rätt c) minst 2 rätt
a) Eftersom den relativa frekvensen är ett närmevärde till sannolikheten så är det bara att läsa av tabellen under antal rätt=1.
P(1 rätt) = 0,18
b) Här ges två möjliga utfall; antingen har man 0 rätt eller så har man 1 rätt. För att få fram den ”totala” sannolikheten för de båda så lägger man helt enkelt ihop de båda sannolikheterna. Vi vill ju ha med alla dem som hamnar under sannolikheten 0,1 och alla dem som hamnar under sannolikheten 0,18, tillsammans utgör ju den 0,28.
P(0 rätt eller 1 rätt) = 0,10 + 0,18 = 0,28
c) Precis som i uppgift b så ges här mer än ett möjligt utfall nämligen 2 rätt, 3 rätt och 4 rätt. Kolla upp respektive relativ frekvens och addera dem.
P(2 rätt eller 3 rätt eller 4 rätt) = 0,29 + 0,28 + 0,15 = 0,72